Cinq ou dix nouvelles preuves du théorème de Pythagore

1 INTRODUCTION

Peut- être qu'aucune matière en mathématiques ne génère plus de confusion et d'anxiété pour les lycéens que la trigonométrie. Il est au-delà de la portée de ce document (et au-delà de notre capacité) d'examiner pourquoi la trigonométrie est si confuse, mais une raison peut être qu'il y a deux façons différentes de définir les mêmes termes trigonométriques, comme dans Graphique 2 de Chapitre 2. Figure 1 montre comment ces méthodes sont généralement conciliées et pourtant il est possible que ce chiffre fasse plus de mal que de bien. Les étudiants peuvent ne pas se rendre compte que deux versions concurrentes de la trigonométrie ont été gravées sur la même terminologie. Dans ce cas, essayer de donner un sens à la trigonométrie peut être comme essayer de donner un sens à une image où deux images différentes ont été imprimées l'une sur l'autre.

Figure 1 : Le chiffre le plus nocif en mathématiques ?

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Nous pensons que la façon la plus sensée d'éviter cette confusion est de donner aux procédures des noms distincts, reflétant les idées distinctes qui les sous-tendent. Mais une seule de ces méthodes est en fait trigonométrique, et en se concentrant sur cette version réelle (et en ignorant la version mal nommée), une grande collection de nouvelles preuves du théorème de Pythagore peut être trouvée.

2 Qu'est-ce qu'un effort TRIGONOMETRIC?

Le mot trigonométrie est dérivé des mots grecs "trigonon" (triangle), et "metron"(mesure), de sorte que naturellement les fonctions trigonométriques sont obtenues en mesurant les triangles. En effet, les rapports trigonométriques sinus et cosinus sont définis pour un angle aigu $\alpha$ en créant un triangle rectificatif ABC dans laquelle $\alpha$ est l'un des deux angles aigus (comme sur le côté gauche de Graphique 2), puis en comparant les longueurs de deux des trois côtés: $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha$ est défini comme le quotient de la jambe opposée BC et l'hypoténuse AB, et $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}\alpha$ est le quotient de la jambe adjacente AC et l'hypoténuse. Ces définitions sont généralement enseignées avec l'acronyme familière SOHCAHTOA.

Figure 2: Définitions trigonométriques et cyclotopiques du sinus et de la cosinus.

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Mais la définition du sinus ou du cosinus par la mesure d'un triangle droit ne fonctionne que pour un angle aigu, et tous les autres angles - ceux qui mesurent ou $0^{°}$moins, ${90}^{°}$ou plus - exigent une méthode entièrement différente. Pour ces angles, nous utilisons le cercle unitaire à la place: nous commençons au point $(1,0)$et traversons le cercle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (dans le sens des aiguilles d'une montre pour les angles négatifs) jusqu'à ce que l'angle central souhaité $\alpha$soit atteint, en train de nous attaquer en un point $(x,y)$. Nous définissons ensuite $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}\alpha =x$et $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha =y.$nous reprenons la note ¹

Pour un angle aigu, ces deux méthodes donnent la même valeur pour la fonction sinus ou cosinus, comme Figure 1 a été conçu pour montrer, mais seule la première méthode peut raisonnablement être appelée trigonométrique. La deuxième méthode pourrait plus appropriée être appelée cyclotopique, à partir des mots grecs pour « cercle » et « emplacement ». (Graphique 2).

Concrètement, la distinction entre ces méthodes signifie que la démonstration du théorème de Pythagore via la loi des cosinus (nous partons $c^2=a^2+b^2-2\mathit{\text{ab}}\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}\gamma$et laissons $\gamma$être un angle droit) est une preuve cyclotopique et non une épreuve trigonométrique: la trigonométrie ne peut pas calculer le cosinus d'un angle droit, alors que la mesure cyclotopique nous le dit $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}({90}^{°})=0$. De même, la démonstration du théorème de Pythagore à l'aide de la formule $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}(\alpha -\beta )$pour (laissez $\alpha =\beta$dans l'identité$\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}(\alpha -\beta )=\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}\alpha \hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}\beta +\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha \hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\beta$) est également cyclostatique plutôt que trigonométrique, de même que la preuve en utilisant la formule pour $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}(\alpha +\beta )$, où $\alpha$et $\beta$sont des compléments.

L'affirmation selon laquelle une preuve est trigonométrique peut également être rejetée pour d'autres motifs. Par exemple, l'une des preuves les plus connues du théorème de PythagoreNote de bas de page ² utilise la similarité $△\mathit{\text{ABC}}\sim △\mathit{\text{ACD}}\sim △\mathit{\text{CBD}}$, comme dans Figure 3: depuis $\frac{a}{c}=\frac{x}{a}$ et $\frac{b}{c}=\frac{y}{b}$, nous avons $c=x+y=\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{c}$ de sorte que $a^2+b^2=c^2$.

Figure 3: Preuve de triangles similaires.

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Mais cette preuve est facilement réécrite en trigonométrie. Depuis $\frac{a}{c}=\frac{x}{a}=\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha$que nous avons $x=a\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha =(c\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha )\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha =c{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}}^2\alpha$, et de la même manière $y=c{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}}^2\alpha$. Puis $c=x+y=c({\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}}^2\alpha +{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}}^2\alpha )$, d'où $1={\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}}^2\alpha +{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}}^2\alpha ={(\frac{a}{c})}^2+{(\frac{b}{c})}^2$et ainsi $a^2+b^2=c^2$. Mais en utilisant la terminologie trigonométrique ici, rien - en fait, cela ne fait que compliquer une vision plus simple de la même approche exacte - de sorte que nous dirons que cette preuve emploie des triangles similaires plutôt que de la trigonométrie.

Plus généralement, toute preuve qui $a^2+b^2=c^2$peut être reformulée en une preuve « trigonométrique » simplement en écrivant $c\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha$pour a et $c\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}\alpha$pour b (ou en redimensionnant les côtés a, b et c à $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha$, $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}\alpha$et 1) pour prouver d'abord que ${\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}}^2\alpha +{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}}^2\alpha =1$, après quoi les substitutions inverses $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha =\frac{a}{c}$et $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}\alpha =\frac{b}{c}$montrent que $a^2+b^2=c^2$. Cette illusion montre que nous devons être sceptiques à l'égard d'une preuve « trigonométrique » du théorème de Pythagore qui fonctionne de cette manière détournée (c'est-à-dire en prouvant d'abord l'identité ${\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}}^2\alpha +{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}}^2\alpha =1)$pour s'assurer que la « trigonométrie » n'est pas seulement une réaffirmation inutilement des longueurs latérales en utilisant la terminologie sinus et cosinus.Footnote³

En vérité, nous ne savons pas comment tracer une ligne claire entre les preuves « trigonométriques » du théorème de Pythagore et les épreuves non trigonométriques. Mais avec les exigences ci-dessus, nous avons un début, et par nos critères (qui sont moins stricts que les critères de [Citation 1)) deux preuves du théorème de Pythagore) sont qualifiées de trigonométriques. Le premier appartient à J. La preuve, dont la preuve [Citation 3) utilise les propriétés algébriques des formules d'angle composé pour le montrer pour ${\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}}^{2}x+{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}}^{2}x=1$tout angle aigu x. L'autre preuve ([Citation 4) appartient à N. Luzia, qui utilise les formules d'angle composé et la formule à demi-angle pour le montrer pour ${\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}}^2\frac{\theta }{2}+{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}}^2\frac{\theta }{2}=1$tout angle aigu$\theta$. Notez que la méthode de Luzia échoue pour le triangle à droite des isocèles (lorsque l'angle $\frac{\theta }{2}$en question est ${45}^{°}$), mais fonctionne quand $45<\frac{\theta }{2}<90$, depuis .${\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}}^2\frac{\theta }{2}+{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}}^2\frac{\theta }{2}={\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}}^2(90-\frac{\theta }{2})+{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}}^2(90-\frac{\theta }{2})=1$

3 PRÉLIMINAIRES

Dans cette section, nous vérifions que nos preuves ne sont pas circulaires, c'est-à-dire qu'aucun des théorèmes que nous utilisons dans nos preuves (section 4) n'a déjà supposé que le théorème de Pythagore est vrai. Nous notons que les définitions des fonctions trigonométriques pour les angles aigus viennent de triangles similaires. Ces fonctions peuvent être considérées comme définies directement sur les angles ou leur mesure de haut en avant et sont les «définitions du triangle de droite». Nous utilisons librement d'autres résultats basiques de la géométrie euclidienne qui précèdent le théorème de Pythagore, comme le postulat de l'Angineance et la propriété qu'une perpendiculaire chute du sommet d'un triangle aigu rencontre le côté opposé. Nous utilisons également la mesure de l'aire des triangles et des carrés. Cette notion est généralement considérée comme plus sophistiquée que des triangles similaires, mais elle précède également le théorème de Pythagore et est souvent utilisée dans les preuves du théorème. D. Clark et S. Pathania (Citation 5) fournit une référence complète à la géométrie. Pour simplifier, nous avons choisi de ne pas distinguer les angles et leurs mesures de degré, ni entre les segments de ligne et leurs longueurs.

A. Les formules d'ajout d'angle

Nos épreuves utilisent les formules d'ajout d'angle pour le sinus et la cosinus, et Figure 4 démontre que lorsque $\alpha$, $\beta$, et $\alpha +\beta$ sont tous des angles aigus, nous avons $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}(\alpha +\beta )=\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha \hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}\beta +\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}\alpha \hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\beta$ et $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}(\alpha +\beta )=\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}\alpha \hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}\beta -\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha \hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\beta$.

Figure 4: Formule d'ajout d'angle.

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Donc si $\alpha <{45}^{°}$avec $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha =\frac{a}{c}$et $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}\alpha =\frac{b}{c}$, nous avons

$\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}(2\alpha )=2\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha \hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}\alpha =\frac{2\mathit{\text{ab}}}{c^2}$et $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}(2\alpha )={\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}}^2\alpha -{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}}^2\alpha =\frac{b^2-a^2}{c^2}$. Et si $\alpha$et $\beta$sont des angles complémentaires avec $\alpha <\beta$, alors depuis $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\theta =\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}(90-\theta )$que nous avons $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}(\beta -\alpha )=\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}(90-(\beta -\alpha ))=\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}((\alpha +\beta )-(\beta -\alpha ))=\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}(2\alpha )=\frac{b^2-a^2}{c^2}$aussi.

B. La loi de Sines

D'après les $△\mathit{\text{ABC}}$ dans laquelle $\alpha$ et $\beta$ sont des angles aigus comme ci-dessous, nous dessinons l'altitude CD (Figure 5)

Figure 5 : La loi des Sines.

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Alors $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha =\frac{\mathit{\text{CD}}}{b}$et $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\beta =\frac{\mathit{\text{CD}}}{a}$, donc que $\frac{a}{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha }=\frac{b}{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\beta }$. Note de bas de page ⁴

C. Le triangle droit isocèle

Le lemme en Chapitre 5 explique pourquoi la majorité de nos preuves échouent pour le triangle droit isocèle, donc ici nous prouvons ce cas particulier du théorème de Pythagore: ABC est un triangle rectangle isocèle ($a=b$), puis deux exemplaires de ABC créera un carré avec une longueur latérale a, tandis que quatre copies créent un carré avec une longueur latérale c (Graphique 6).

Figure 6: Théorème de Pythagore pour le triangle à droite des isocèles.

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Figure 7: Création $△{\mathit{\text{ABB}}}^{\prime }$.

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Pour le triangle de droite isocèle, alors, $a^2+b^2=c^2$est aussi simple que $2+2=4.$

4 Cinq nouvelles preuves du théorème de Pythagore

Puisque nous avons déjà prouvé le théorème de Pythagore pour le triangle à droite des isocèles, nous supposons dans les quatre premières de nos cinq preuves ci-dessous que l'ABC est un triangle à droite non isocèle dans lequel $a<b$ou équivalent, $\alpha <{45}^{°}<\beta$. Conformément à l'exigence stricte de [Citation 1), nous commençons chaque preuve par un chiffre d'un triangle rectangle.

A. La première preuve

Notre première preuve commence par réfléchir $△\mathit{\text{ABC}}$à travers la ligne $\overleftrightarrow{\mathit{\text{AC}}}$à travers A et C pour créer le triangle isocèle ${\mathit{\text{ABB}}}^{\prime }$.

Nous construisons maintenant le triangle rectangulaire $A{B}^{\prime }D$ comme à gauche dans Figure 8 en créant un angle droit au sommet $B^{\prime }$ (afin que $m\angle B{B}^{\prime }D=90-\beta =\alpha$) et s'étendant AB pour rencontrer le nouveau segment de ligne au point D. Nous remplissons ensuite $△B^{\prime }\mathit{\text{BD}}$ avec des copies à plus petite échelle de plus en plus petites du triangle rectangle d'origine ABC, comme à droite dans Figure 8.

Figure 8: Première preuve.

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Comme $B{B}^{\prime }$a la longueur 2a et est la plus longue de $△B^{\prime }\mathit{\text{EB}}\sim △\mathit{\text{ABC}}$, le rapport des côtés a: b: c montre la jambe la plus courte BE a la longueur $(2a)\frac{a}{b}=\frac{2a^2}{b}$. Mais BE est la jambe plus longue de $△\mathit{\text{BFE}}$, donc l'hypoténuse BF de $△\mathit{\text{BFE}}$longueur $\left(\frac{2a^2}{b}\right)\left(\frac{c}{b}\right)=\frac{2a^{2}c}{b^2}$. Par construction, la jambe plus courte dans chaque triangle est aussi la plus longue du triangle suivant, ce qui signifie que les triangles successifs ont le $\frac{a}{b}$rapport; mais ensuite les triangles alternés ont un rapport $\frac{a^2}{b^2}$, de sorte que $\mathit{\text{FG}}=\left(\frac{a^2}{b^2}\right)\mathit{\text{BF}}=\frac{2a^{4}c}{b^4},$et $\mathit{\text{GH}}=\left(\frac{a^2}{b^2}\right)\mathit{\text{FG}}=\frac{2a^{6}c}{b^6}$, etc. Ainsi, l'hypoténuse AD du triangle rectangle $A{B}^{\prime }D$a la longueur $\mathit{\text{AB}}+\mathit{\text{BF}}+\mathit{\text{FG}}+\mathit{\text{GH}}+\cdots =c(1+\frac{2a^2}{b^2}+\frac{2a^4}{b^4}+\frac{2a^6}{b^6}+\cdots )$.

En $△A{B}^{\prime }D$ Nous avons $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}(2\alpha )=\frac{A{B}^{\prime }}{\mathit{\text{AD}}}=\frac{c}{\mathit{\text{AD}}}$ et donc $\mathit{\text{AD}}=\frac{c}{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}(2a)}$ (Figure 8).

Nous assimilons ces deux expressions à AD de trouver $$\begin{array}{cc}c(1+\frac{2a^2}{b^2}+\frac{2a^4}{b^4}+\frac{2a^6}{b^6}+\cdots )=\frac{c}{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}(2\alpha )}\hfill & \hfill \\ \Rightarrow c(1+\frac{2a^2/b^2}{1-a^2/b^2})=\frac{c}{{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{cos}}\hspace{0.17em}}^2\alpha -{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}}^2\alpha }\hfill & \hfill \\ \Rightarrow 1+\frac{2a^2}{b^2-a^2}=\frac{1}{{(b/c)}^2-{(a/c)}^2}\hfill & \hfill \\ \Rightarrow \frac{b^2+a^2}{b^2-a^2}=\frac{c^2}{b^2-a^2}\hfill & \hfill \\ \Rightarrow a^2+b^2=c^2.\hfill & \hfill \end{array}$$

Notez qu'une étape de notre preuve a utilisé la formule bien connue de la Somme de Convergent Série $a+\mathit{\text{ar}}+a{r}^2+a{r}^3+\cdots =\frac{a}{1-r}$ pour déterminer que $$\frac{2a^2}{b^2}+\frac{2a^4}{b^4}+\frac{2a^6}{b^6}+\cdots =\frac{2a^2/b^2}{1-a^2/b^2}.$$

B. La deuxième preuve

Prévue du triangle rectangulaire ABC, nous localisons le point D sur $\overleftrightarrow{\mathit{\text{BC}}}$ de sorte que $m\angle \mathit{\text{BAD}}=\alpha$ comme ci-dessous, et donc $m\angle \mathit{\text{ADC}}=90-2\alpha =\beta -\alpha$ (Graphique 9).

Figure 9: Deuxième preuve.

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Nous appliquons d'abord la loi de Sines à $△\mathit{\text{ACD}}$: $$\begin{array}{cc}\frac{\mathit{\text{CD}}}{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}(2\alpha )}=\frac{\mathit{\text{AC}}}{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}(\beta -\alpha )}\hfill & \hfill \\ \Rightarrow \frac{\mathit{\text{CD}}}{2\mathit{\text{ab}}/c^2}=\frac{b}{(b^2-a^2)/c^2}\hfill & \hfill \\ \Rightarrow \mathit{\text{CD}}=\frac{2a{b}^2}{b^2-a^2}\hfill & \hfill \end{array}$$d) $\mathit{\text{BD}}=\mathit{\text{CD}}-\mathit{\text{BC}}=\frac{2a{b}^2}{b^2-a^2}-a=\frac{a(a^2+b^2)}{b^2-a^2}$.

Ensuite, nous appliquons la loi de Sines à $△\mathit{\text{ABD}}$: $$\begin{array}{cc}\frac{\mathit{\text{BD}}}{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha }=\frac{\mathit{\text{AB}}}{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}(\beta -\alpha )}\hfill & \hfill \\ \Rightarrow \frac{\mathit{\text{BD}}}{a/c}=\frac{c}{(b^2-a^2)/c^2}\hfill & \hfill \\ \Rightarrow \mathit{\text{BD}}=\frac{a{c}^2}{b^2-a^2}.\hfill & \hfill \end{array}$$

En comparant les deux valeurs de BD, on trouve $\frac{a(a^2+b^2)}{b^2-a^2}=\frac{a{c}^2}{b^2-a^2}$et ensuite $a^2+b^2=c^2$.

C. La troisième preuve

Nous situons le point D sur AC de sorte que $m\angle \mathit{\text{CBD}}=\beta -\alpha$, et donc $m\angle \mathit{\text{ABD}}=\beta -(\beta -\alpha )=\alpha$ et $m\angle \mathit{\text{BDC}}=90-(\beta -\alpha )=2\alpha$ (Figure 10).

Figure 10: Troisième preuve.

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Par définition, $\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}(2\alpha )=\frac{\mathit{\text{BC}}}{\mathit{\text{BD}}}$de sorte que $\mathit{\text{BD}}=\frac{\mathit{\text{BC}}}{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}(2\alpha )}=\frac{a}{2\mathit{\text{ab}}/c^2}=\frac{c^2}{2b}$, et ensuite $\mathit{\text{CD}}=\mathit{\text{BD}}\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}(\beta -\alpha )=\left(\frac{c^2}{2b}\right)\left(\frac{b^2-a^2}{c^2}\right)=\frac{b^2-a^2}{2b}$. Ainsi $\mathit{\text{AD}}=\mathit{\text{AC}}-\mathit{\text{CD}}=b-\frac{b^2-a^2}{2b}=\frac{a^2+b^2}{2b}$.

Mais puisque $△\mathit{\text{ABD}}$c'est isocèle, nous l'avons $\mathit{\text{AD}}=\mathit{\text{BD}}$pour $\frac{a^2+b^2}{2b}=\frac{c^2}{2b}$, ou $a^2+b^2=c^2$.

D. Quatrième preuve

Nous dessinons la bi-secteur perpendiculaire DE de l'hypoténuse AB (afin que $△\mathit{\text{AED}}\sim △\mathit{\text{ABC}}$) et puis nous construisons le rectangle AOBC et dessiner ses diagonales. Par symétrie réfléchissante, $m\angle \mathit{\text{BCD}}=m\angle \mathit{\text{CBD}}=\beta$mais alors $m\angle \mathit{\text{DCE}}=90-\beta =\alpha$ et $m\angle \mathit{\text{BDC}}=180-(\beta +\beta )=2\alpha$. Nous avons aussi $m\angle \mathit{\text{CDE}}=90-2\alpha =\beta -\alpha$ (Graphique 11).

Figure 11: La quatrième preuve.

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Figure 12: La cinquième preuve.

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Depuis $\mathit{\text{AD}}=\mathit{\text{BD}}$, nous avons $\mathit{\text{AD}}=\mathit{\text{BD}}=\frac{c}{2}$, et le rapport a: b: c des côtés de $△\mathit{\text{AED}}$montres et $\mathit{\text{DE}}=\mathit{\text{AD}}\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{\mathit{\text{ac}}}{2b}$$\mathit{\text{AE}}=\mathit{\text{AD}}\left(\frac{c}{b}\right)=\frac{c^2}{2b}$. Ainsi $\mathit{\text{CE}}=\mathit{\text{AC}}-\mathit{\text{AE}}=b-\frac{c^2}{2b}=\frac{2b^2-c^2}{2b}$.

Nous appliquons la loi de Sines à $△\mathit{\text{CDE}}$ de trouver $$\begin{array}{cc}\frac{(2b^2-c^2)/2b}{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}(\beta -\alpha )}=\frac{\mathit{\text{ac}}/2b}{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha }\hfill & \hfill \\ \Rightarrow \frac{2b^2-c^2}{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}(\beta -\alpha )}=\frac{\mathit{\text{ac}}}{\hspace{0.17em}\mathrm{\text{sin}}\hspace{0.17em}\alpha }\hfill & \hfill \\ \Rightarrow \frac{2b^2-c^2}{(b^2-a^2)/c^2}=\frac{\mathit{\text{ac}}}{a/c}\hfill & \hfill \\ \Rightarrow \frac{2b^2-c^2}{b^2-a^2}=1\hfill & \hfill \\ \Rightarrow 2b^2-c^2=b^2-a^2\hfill & \hfill \\ \Rightarrow a^2+b^2=c^2.\hfill & \hfill \end{array}$$

5 NOTRE MODE

L'une des questions fondamentales de toute activité créatrice est : « Que puis-je créer en utilisant ce que j'ai ? » Dans le cas du théorème de Pythagore, la question devient : « Quels triangles rectificatifs puis-je créer en utilisant le triangle droit ABC donné ? »

C’est la question à laquelle nous avons essayé de répondre, et nous avons limité notre création de nouveaux triangles à ceux dont les angles sont des sommes $△\mathit{\text{ABC}}$intégrales et/ou des différences de trois angles, $\alpha$et $\beta$de 90 ($=\alpha +\beta$) degrés. Mais alors la réponse à notre question est simple.

Lemme 1.

1. Si ABC est un triangle à droite isocèle (de sorte que$\alpha =\beta =45$) alors le seul triangle dont les angles sont des combinaisons linéaires intégrales $\alpha$et $\beta$est le triangle droit des isocèles.

2. Si $\alpha$- <$\beta$dans le triangle droit ABC, il existe un triangle rectangle dont les angles aigus sont $2\alpha$et $\beta -\alpha$. En outre, $2\alpha$and$\beta -\alpha$et sont les seules combinaisons linéaires intégrales de $\alpha$et $\beta$qui formeront les angles aigus d'un triangle rectangle pour chaque paire$\alpha ,\beta$.

Preuve.

1. Étant donné que les trois mesures angulaires du triangle isocèle ABC sont multiples de 45, les trois mesures angulaires dans tout nouveau triangle (dont les angles sont limités aux sommes et/ou différences des angles de $△\mathit{\text{ABC}}$) sont toujours multiples de 45, et donc notre triangle doit être un triangle d'isocèles à droite. En d'autres termes, si nous commençons par un triangle à droite isocèle, alors nous ne pouvons pas créer un nouveau triangle.

2. Supposons maintenant que$\alpha$.$\beta$ Si un angle aigu dans un triangle droit nouvellement construit mesure $\mathit{m\alpha }$alors $\mathit{n\beta }$$(m,n\in \mathbb{Z}$son complément mesure 90 – $(\mathit{m\alpha }$$\mathit{n\beta }$$\alpha +\beta$$\mathit{m\alpha }$)$\mathit{n\beta }$$(1-m)\alpha$$(1-n)\beta$ Si les entiers n et $1-n$sont tous les deux non-zéro, de sorte que l'un d'eux (par exemple, n) est négatif, alors nous remplaçons n par $\mathit{⏧n⏧}$l'un des angles mesure $\mathit{m\alpha }$- $\mathit{n\beta }$où m x n x 0. Mais quand $\alpha$il mesure $\frac{90n}{m+n}$des degrés, de sorte que ses $\beta$mesures de complément $\frac{90m}{m+n}$, cette construction nous donne un triangle qui a un angle de $\mathit{m\alpha }$$\mathit{n\beta }$– $m\frac{90n}{m+n}$$n\frac{90m}{m+n}=0$. Cette impossibilité montre que nous devons avoir$n=0$, de sorte que l'un des grands angles mesures $\mathit{m\alpha }$pour certains.$m\in \mathbb{N}$

Si $m=1$nous récupérons simplement notre triangle d'origine ABC. Si $m=2$nous obtenons un nouveau triangle rectangle dont les angles aigus $2\alpha$mesurent et $\beta$- $\alpha$. (Notez que $2\alpha$90 car il $\alpha$$45.)\text{ Finally, we see that }m$$\ge$n'est pas possible d'être impossible car un tel triangle ne peut exister si 30 $\le$$\alpha$x 45. -

Notre nom nous a dit exactement comment chercher des preuves du théorème de Pythagore (pour les triangles de droite non isocèles): en commençant par notre triangle original ABC, nous avons essayé de créer autant de façons que possible un nouveau triangle droit dont les angles $\alpha$mesurent 2,

$\beta$– et $\alpha$90 degrés.

Par exemple, la façon évidente de créer un angle de 2$\alpha$ est de combiner deux exemplaires de $△\mathit{\text{ABC}}$, comme dans Graphique 13.

Figure 13: Création d'un angle de $2\alpha$.

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Cela crée le triangle isocèle ${\mathit{\text{ABB}}}^{\prime }$ dont la mesure des angles 2$\alpha$, $\beta$, et $\beta$, et donc l'étape suivante est de prendre l'un des angles qui mesurent $\beta$ et le convertir en un angle qui mesure soit $\beta$ – $\alpha$ ou 90 degrés (Graphique 13).

Pour créer un angle de 90 degrés au sommet $B^{\prime }$, nous construisons un rayon qui fait un angle de $\alpha$ avec $B{B}^{\prime }$. Si nous prolongeons ensuite le côté AB de rencontrer le rayon au point D, nous obtenons le chiffre pour notre première preuve (Graphique 14).

Figure 14: Création de la première preuve.

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Alternativement, si nous créons l'angle de $2\alpha$ de l'autre côté de l'hypoténuse AB et étendre BC d'intersecter le nouveau rayon au point D, comme ci-dessous, nous obtenons le chiffre qui mène directement à notre deuxième preuve (Graphique 15).

Figure 15: Création de la deuxième preuve.

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Cette méthode simple a produit un certain nombre de nouvelles preuves Footnote ⁵5, dont cinq sont représentées ci-dessus alors que cinq (ou plus) sont laissés à découvrir pour que le lecteur intéressé puisse le découvrir.

6 CONCLUSION

Le lecteur pourrait être surpris d'apprendre que le catalyseur pour commencer ce projet était une question bonus d'un concours de mathématiques au lycée. La question du bonus était de créer une nouvelle preuve du théorème de Pythagore. Motivés par le prix de 500 dollars, nous avons décidé indépendamment d'assumer cette tâche. Cela s'est avéré beaucoup plus difficile que nous ne l'avons imaginé pour la première fois, et nous avons tous passé de longues nuits à essayer et à ne pas créer une preuve. Après environ un mois de travail mental, nous avons chacun terminé et soumis notre travail. M. Rich, un bénévole en maths à notre lycée, a cru que nos preuves étaient assez nouvelles pour être présentées lors d'une conférence mathématique. Aucun d'entre nous n'avait une telle confiance dans notre travail à ce moment-là, mais nous avons décidé de l'accepter de toute façon. C'est là que nous avons commencé à travailler ensemble.

Pendant les deux à trois prochains mois, nous avons passé tout notre temps libre à perfectionner et à polir notre travail. Nous avons travaillé à la fois de manière indépendante et ensemble après l'école, le week-end, et même pendant les vacances. Dans le processus, avec M. Riches en tant que conseiller pédagogique, nous avons créé des preuves supplémentaires. Nous avons tout cela en ne sachant pas si nous serions même autorisés à présenter à la conférence, qui n'est généralement faite que par des mathématiciens professionnels, et occasionnellement par des étudiants. À notre grande surprise, notre travail de fin d'études secondaires a été pris au sérieux, et nous avons été autorisés à présenter à la conférence sectionnelle de la Southeastern de l'American Mathematical Society en mars 2023. Le fait d'être les plus jeunes dans la salle et les plus jeunes présentateurs était terrifiant, mais savoir que c'était le point culminant de tous nos efforts antérieurs nous a donné la confiance de nous présenter.

Nous avons ensuite été encouragés par l'AMS à soumettre nos résultats à une revue universitaire. Cela s'est avéré être la tâche la plus redoutable de toutes, puisque nous n'avions absolument aucune expérience d'écrire pour une revue académique. Nous nous sommes également attaqués aux facteurs de stress qui accompagnent l'adaptation à l'environnement universitaire. Apprendre à coder dans LaTeX n'est pas si simple quand vous essayez aussi d'écrire un essai de 5 pages avec un groupe, et de soumettre une analyse de données pour un laboratoire. Avec les conseils et la sagesse de nos mentors, et beaucoup de dévouement personnel, nous avons pu fabriquer ce papier. Le soutien de notre famille et, plus tard, de notre communauté nous a aidés à persévérer. Notre chemin jusqu'à présent n'était en aucun cas simple ou direct. Il n'y avait pas de feuille de route pour nous, et il n'y avait certainement aucune garantie qu'un quelconque de nos travaux irait plus loin que nos propres têtes. Il y a eu de nombreuses fois où nous voulions tous les deux abandonner ce projet, mais nous avons décidé de persévérer pour finir ce que nous avons commencé.

Note de l'éditeur

Peu après que les auteurs ont présenté ces résultats à la réunion de section de l'AMS à Atlanta, en Géorgie, en mars 2023, mon fils, Colin, les a attirés à mon attention et leur a demandé: «Allez-vous publier ces idées dans le Monthlymensuel?» À partir de ce moment-là, j'avais espéré que les auteurs soumettraient leurs travaux au Mois. Lorsqu'ils l'ont fait, l'un des membres de notre comité de rédaction, Grant Cairns, était prêt à traiter la demande. Sur sa suggestion, nous avons d'abord envoyé le document aux auteurs avec les conseils LaTeX de Grant pour comment faire en sorte que leurs résultats soient plus beaux sur la page. Avant d'envoyer le document pour examen, nous avons décidé que nous nous efforcerions de garder la voix des auteurs. Grant a soigneusement sélectionné les critiques et a ensuite écrit un beau document pour les auteurs qui a essentiellement servi de « guide pour lire les rapports de l'arbitre d'un article de mathématiques ». Ces jeunes auteurs ont répondu aux rapports d'arbitres avec la finesse de professionnels de longue date dans ce domaine. Tout cela pour dire, je suis non seulement honoré que les auteurs aient fait confiance au Mois avec leurs résultats importants, mais aussi profondément gratifiés par le travail en coulisses du comité de rédaction du journal.

Della Dumbaugh, éditeur